미분방정식 풀이 \[(x^3 + x y^2 + x)dx + y dy = 0\]

주어진 미분방정식은 다음과 같습니다:

\[
(x^3 + x y^2 + x)dx + y dy = 0
\]

이 방정식을 적분 인자를 사용하여 풀어 보겠습니다.

### Step 1: 적분 인자 사용을 위한 조건 확인

주어진 방정식을 다음과 같이 두 함수  ( M(x, y))와  ( N(x, y))로 분리할 수 있습니다:

\[
M(x, y) = x^3 + x y^2 + x, \quad N(x, y) = y
\]

적분 인자를 찾기 위해 다음 조건을 확인해야 합니다:

\[
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
\]

먼저, (\frac{\partial M}{\partial y})를 계산해보면:

\[
\frac{\partial M}{\partial y} = 2xy
\]

그리고 (\frac{\partial N}{\partial x})는:

\[
\frac{\partial N}{\partial x} = 0
\]

두 값이 다르므로, 방정식은 정확한 미분방정식이 아니며 적분 인자가 필요합니다.

 Step 2: 적분 인자 ( \mu(x))  찾기

적분 인자가 x의 함수라고 가정하고, 적분 인자 ( \mu(x))를 곱한 후 방정식을 정확한 미분방정식으로 만들겠습니다. 적분 인자를 곱한 새로운 방정식은 다음과 같습니다:

\[
\mu(x)(x^3 + x y^2 + x) dx + \mu(x) y dy = 0
\]

이 방정식을 정확한 미분방정식으로 만들기 위해, 다음 조건이 성립해야 합니다:

\[
\frac{\partial}{\partial y} \left( \mu(x)(x^3 + x y^2 + x) \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \mu(x) y \right)
\]

먼저 좌변을 계산해보면:

\[
\frac{\partial}{\partial y} \left( \mu(x)(x^3 + x y^2 + x) \right) = \mu(x) (2xy)
\]

우변은:

\[
\frac{\partial}{\partial x} \left( \mu(x) y \right) = \mu'(x) y
\]

두 식이 같아지려면:

\[
\mu(x)(2xy) = \mu'(x)y
\]

(y \neq 0)이므로 양변을 (y) 로 나누면:

\[
\mu(x)(2x) = \mu'(x)
\]

Step 3: 적분 인자  (\mu(x)) 구하기

이제 이 미분방정식을 풀어  (\mu(x))를 구해보겠습니다. 위 식을 정리하면:

\[
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)} = 2x
\]

양변을 (x)에 대해 적분하면:

\[
\ln|\mu(x)| = x^2 + C
\]

따라서 적분 인자는:

\[
\mu(x) = e^{x^2 + C} = e^C e^{x^2}
\]

(e^C)는 상수이므로, 편의상 (e^C=1) 로 두면 적분 인자는 ( \mu(x) )=(e^{x^2} )입니다.

Step 4: 적분 인자를 곱한 방정식 풀기

이제 주어진 방정식에 ( \mu(x) )=(e^{x^2})를 곱합니다:

\[
e^{x^2}(x^3 + x y^2 + x) dx + e^{x^2} y dy = 0
\]

이제 이 방정식은 정확한 미분방정식입니다. 즉, 어떤 함수 (\psi(x, y))에 대해:

\[
\frac{\partial \psi}{\partial x} = e^{x^2}(x^3 + x y^2 + x), \quad \frac{\partial \psi}{\partial y} = e^{x^2} y
\]

Step 5: 함수 ( \psi(x, y)) 구하기

먼저 ( \frac{\partial \psi}{\partial y} = e^{x^2} y )를 (y)에 대해 적분합니다:

\[
\psi(x, y) = e^{x^2} \frac{y^2}{2} + g(x)
\]

여기서 (g(x))는 (x)에만 의존하는 함수입니다. 이제 ( \frac{\partial \psi}{\partial x} )를 계산하고, 이를 ( e^{x^2}(x^3 + x y^2 + x) )와 비교합니다:

\[
\frac{\partial \psi}{\partial x} = e^{x^2} x \frac{y^2}{2} + g'(x)
\]

이를 ( e^{x^2}(x^3 + x y^2 + x) )와 비교하면, (g'(x) = e^{x^2}(x^3 + x))임을 알 수 있습니다. 따라서 (g(x))를 적분하면:

\[
g(x) = \int e^{x^2}(x^3 + x) dx
\]

이 적분은 부분적분을 통해 구할 수 있으며, 결과적으로 다음과 같은 해가 나옵니다:

\[
\psi(x, y) = e^{x^2} \left( \frac{y^2}{2} + \frac{x^2}{2} + C \right)
\]

Step 6: 일반해

따라서 미분방정식의 일반해는 다음과 같습니다:

\[
e^{x^2} \left( \frac{y^2}{2} + \frac{x^2}{2} \right) = C
\]